Paradojas matemáticas (II)

Hoy vamos a tratar la bonita paradoja del cumpleaños. Supongamos que la probabilidad de cumplir años es uniforme y que hay 365 días en el año, es decir, ignoramos los hábitos reproductivos de nuestros padres y los años bisiestos. Dado esto, supongamos que en una sala hay 30 personas, ¿cuál es la probabilidad de que dos personas cumplan los años el mismo día? Suponemos que es baja, yo al menos pensaba que era del 10% o del 30% como mucho, en cambio la estadística nos enseña que es del 50%. Si en vez de 30 personas hay 50, la probabilidad de que dos de ellas cumplan años el mismo día es del 90%.

Ahora un poco de matemáticas para los escéticos con el asunto, siendo "n" el número de personas en la sala y "p" la probabilidad de que estas personas no cumplan años el mismo día:

 

El primer término es uno mismo, el segundo indica la probabilidad de que una persona cumpla años cualquier día menos tú día, el tercero la probabilidad de que alguien cumpla años un día diferente a los dos anteriores... Usando la bonita notación factorial, tenemos lo siguiente:

Si queremos saber la probabilidad de que dos personas en el grupo de "n" personas cumplan años el mismo día, sólo tenemos que calcular 1-p, para los que no sepan de estadística, el 1 indica el 100%.

Divertido, ¿verdad?

Wikipedia: Paradoja del cumpleaños

El mito de la violencia

"El declive de la violencia es un fenómeno fractal. Puede verse a lo largo de milenios, de siglos, a lo largo de décadas y de años." Steven Pinker

Muchas personas piensan que cada día hay más violencia en las calles, pero si hacemos memoria o preguntamos a nuestros abuelos veremos que la violencia era mucho más común. Steven Pinker es un magnífico psicólogo (varios vídeos en YouTube y también aparece en Redes para la Ciencia) que sostiene que estamos condenados a vivir en paz. Todos los datos se pueden ver en los vídeos de Steven Pinker. Las estadísticas que presentan están bien documentadas.
Vemos mucho violencia en televisión, pero no tanta en la vida real. Los medios de comunicación nos muestra la violencia de otros países. De vez en cuando hay manifestaciones con heridos, 6, 7 o incluso 20 o 30, pero hay un par de miles de manifestantes. Hace no muchos años, manifestarse, insultar al Rey o a la institución religiosa que tenga el poder, se castigaba con la pena de muerte tras una horrible tortura. Muchos países no contemplan la pena de muerte y en los que aún sigue siempre hay apelaciones para eliminarla.
Los conflictos armados son cada día menos comunes, recordemos que la máxima no hace muchos años era atacar antes de ser atacado. Algo que en su día tenía sentido, ahora es una locura. Comenzar un conflicto para evitar que nos ataquen primero es un sin sentido.
En la Edad Media, un entretenimiento típico era meter a un gato en una jaula y bajarlo hacia una hoguera. La gente se reía a carcajadas viendo el sufrimiento del animal. Unos siglos antes, el entretenimiento era matar a las personas, lo llamaban Circo. Los castigos que se impartían era siempre físicos, amputaciones lo más típico.
Existe un concepto idílico de la naturaleza primaria, cuando el hombre era cazador y recolector, sin gobierno, sin leyes, sin propiedades. Las probabilidades de morir a manos de otro ser humano en aquella época era del 60%.
Estamos cansados de la violencia, sólo atacamos cuando nos atacan físicamente y en muchas ocasiones ni respondemos. Recordemos la película de "El Club de la Lucha" en el que el protagonista pide a sus seguidores que comiencen algún conflicto con alguien y descubren que es algo muy difícil. Huimos de los conflictos, antes los buscábamos.
También tenemos que pensar en las personas que ayudan a otras personas, creo que todos conocemos a alguien que dona dinero para alguna ONG o es voluntario (yo conozco a unos cuantos). Ya no sólo ayudamos a los que están cerca nuestra, intentamos ayudar a los que se encuentran lejos o ni siquiera conocemos.
Estamos condenados a vivir en paz.

El mito de la violencia. Chile Escéptico.
Wikipedia: Steven Pinker
Youtube: El Mito de que hay más violencia en épocas actuales

Paradojas matemáticas (I)

Las paradojas matemáticas son una de las partes más divertidas de esta ciencia. En esta primer aentrega voy a tratar la paradoja de la circunferencia.
Si tenemos una circuenferencia de radio "r", entonces la longitud de la circunferencia es  

Ahora supongamos que tenemos una circunferencia de 5cm de radio, por lo tanto tenemos 31.41cm de circunferencia. Si hacemos una circunferencia con 1m más de longitud, es decir, una circunferencia de 131.41cm, y la superponemos concéntricamente a la anterior de 31.41cm,

¿por el hueco que queda entre ambas circunferencias cabría un móvil? Si hacemos lo mismo con la circunferencia de la Tierra (6378km de radio, 40000km de circunferencia), ponemos concéntricamente una circunferencia con 1 metro más de longitud (40000km + 1m), ¿cabría un móvil? ¿una hoja de papel? Supongamos que hacemos lo mismo con el Sol, con el Sistema Solar, con la galaxia... La respuesta es siempre la misma, cabría un móvil y cualquier objeto que no pasase de los 15cm aproximadamente.
¿Confusos? ¿Qué esperábais? Es una paradoja al fin y al cabo. Las matemáticas son simples:

es decir, la diferencia entre radios sólo es dependiente de la longitud que se le añade, en nuestro caso sería 15.7cm