Paradojas matemáticas (II)

Hoy vamos a tratar la bonita paradoja del cumpleaños. Supongamos que la probabilidad de cumplir años es uniforme y que hay 365 días en el año, es decir, ignoramos los hábitos reproductivos de nuestros padres y los años bisiestos. Dado esto, supongamos que en una sala hay 30 personas, ¿cuál es la probabilidad de que dos personas cumplan los años el mismo día? Suponemos que es baja, yo al menos pensaba que era del 10% o del 30% como mucho, en cambio la estadística nos enseña que es del 50%. Si en vez de 30 personas hay 50, la probabilidad de que dos de ellas cumplan años el mismo día es del 90%.

Ahora un poco de matemáticas para los escéticos con el asunto, siendo "n" el número de personas en la sala y "p" la probabilidad de que estas personas no cumplan años el mismo día:

 

El primer término es uno mismo, el segundo indica la probabilidad de que una persona cumpla años cualquier día menos tú día, el tercero la probabilidad de que alguien cumpla años un día diferente a los dos anteriores... Usando la bonita notación factorial, tenemos lo siguiente:

Si queremos saber la probabilidad de que dos personas en el grupo de "n" personas cumplan años el mismo día, sólo tenemos que calcular 1-p, para los que no sepan de estadística, el 1 indica el 100%.

Divertido, ¿verdad?

Wikipedia: Paradoja del cumpleaños